Вычислить определенные интегралы.

Question

Дан 1 ответ

chetaleks666228_zn · Answer 1 · 2020-06-05T18:24:51+0000

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1)u = e^x ; du = e^x dx ; y = $\sqrt{u + 1\\}$ dy $=\frac{du}{2\sqrt{u+1} }$ a = ln3( для удобства) e^a =3 $\int\limits^a_0 {\frac{\sqrt{u+1}}{u+3} } \, du = \int\limits^a_0 {\frac{y^{2}+ (2-2) }{y^{2} +2 } } \, dy = 4\int\limits^a_0 {0.5 - \frac{1}{y^{2} + 2} } \, dy = \int\limits^a_0 {2 - \frac{1}{\frac{y^{2}}{2} + 1} } \, dy =2y + 2\sqrt{2} arctg(\frac{y}{\sqrt{2} } ) |^{a} _{0} = 2\sqrt{e^x + 1} +2\sqrt{2} arctg(\frac{\sqrt{e^x + 1} }{\sqrt{2} } ) |^{a} _{0} =4 + 2{\sqrt{2} } - 2\sqrt{2} arctg(\sqrt{2)} - \frac{\pi } {\sqrt{2}} =4 + \frac{\pi -4 }{\sqrt{2} } -2\sqrt{2} arctg(\sqrt{2} )$

2) $x = tg( y ) ; dx= sec^2(y)dy ; (x^2+1)^2 = (tg^2 (y) +1)^2 = sec^4 (y)$

далее верхний и нижний пределы меняются на a=tg1 и b=tg-1( a и b для удобства набора формулы ) $\int\limits^a_b {\frac{sec^2{y}}{sec^4{y}} \, dy =\int\limits^a_b {cos^2{y} \, dy = \int\limits^a_b {0.5cos(2y)+0.5} \, dy =\frac{\pi +2}{4}$

3) y =3x; a =6 $\pi$ (для удобства)(6 из-за замены переменных) b=2 $\pi$

$1/3 \int\limits^a_0 {\frac{1}{5-cos{y}} } \, dy = \int\limits^b_0 {\frac{1}{5-cos{y}} } \, dy$ $= \int\limits^\pi _{-\pi} {\frac{1}{5-cos{y}} } \, dy$

z=tg(y/2); dz= $1/2 sec^2(y/2)$ и cos(y) = $\frac{1-z^2}{z^2+1}$

$dy = \frac{2z dz }{z^2+1}$

меняются пределы интергрирывания(из-за замены) на + и - бесконечности соответственно(tg(+/- $\pi$ /4) =+/- ∞

$\int\limits^\pi _{-\pi} {\frac{2}{(z^2+1)(5-\frac{1-z^2}{z^2+1}) } } \, dz = \int\limits^\pi _{-\pi}{\frac{1}{3z^2+2} } \, dz =0.5 \int\limits^\pi _{-\pi}{\frac{1}{1.5z^2+1}} \, dz$

z= $\sqrt{\frac{3}{2} } u$ ; du= $\sqrt{\frac{3}{2} } dz$

$0.5\sqrt{ \frac{2}{3}} \int\limits^{inf} _{-inf} {\frac{1}{u^2+1} } \, du= 2\sqrt{ \frac{1}{6}} \int\limits^{inf} _0 {\frac{1}{u^2+1} } \, du = \lim_{n \to \infty}( 2\sqrt{ \frac{1}{6}} arctg|^{n}_{0} )=\frac{\pi }{\sqrt{6} }$

4) хз, может численно

5)

$f=x^3;;;;g=e^{2x};;;;;; 0.5\int\limits^1_0 {f} \, dg =fg - \int\limits^1_0 {f} \, dg =(0.5e^{2x} x^{3})|^{1}_{0} - 1.5\int\limits^1_0 {e^{2x} x^{2} } \, dx =e^2/2 -1.5\int\limits^1_0 {e^{2x} x^{2} }$

***забыл dx, сори***

применяем данную махинацию ещё раз

$e^2/2 -0.75e^2- 1.5\int\limits^1_0 {e^{2x} x } }dx$

применяем данную махинацию ещё раз

$0.5e^2 -0.375 \int\limits^1_0 {e^{2x} \, d2x =\frac{4e^2-(3e^3+3)}{8} =\frac{3+e^2}{8}$